Công thức vật lý 12 chương 4: dao động và sóng điện từ, bài 1: mạch dao động lc

$W_C=\frac{q^2}{2C}=\frac{C{u}^2}{2}=\frac{1}{2}L({I_0}^2-i^2)$

$W_{Cmax}=\frac{{Q_0}^2}{2C}=\frac{C{U_0}^2}{2}$

Phát biểu: Tụ điện chứa điện tích và điện trường trong tụ điện sinh ra năng lượng để dịch chuyển điện tích trong mạch. Do đó tụ điện có năng lượng điện trường.

Chú thích:

$W_C, W_{Cmax}$: năng lượng điện trường và năng lượng điện trường cực đại của tụ điện $\left(J\right)$

$q,Q_0$: điện tích và điện tích cực đại của tụ điện $\left(C\right)$

$C$: điện dung của tụ điện $\left(F\right)$

$i,I_0$: cường độ dòng điện tức thời và cường độ dòng điện cực đại qua cuộn cảm $\left(C\right)$

$L$: độ tự cảm của cuộn cảm $\left(H\right)$

$W_L=\frac{L{i}^2}{2}=\frac{1}{2}C({U_0}^2-u^2)$

$W_{Lmax}=\frac{L{I_{\mathit{0}}}^{\mathit{2}}}{2}$

Phát biểu: Dòng điện qua cuộn cảm thuần $L$ sinh ra từ thông biến thiên, từ đó sinh ra từ trường. Do đó trong cuộn cảm thuần có năng lượng từ trường.

Chú thích:

$W_L, W_{Lmax}$: năng lượng từ trường và năng lượng từ trường cực đại qua cuộn cảm $\left(J\right)$

$i,I_0$: cường độ dòng điện tức thời và cường độ dòng điện cực đại qua cuộn cảm $\left(C\right)$

$L$: độ tự cảm của cuộn cảm $\left(H\right)$

$u, U_0$: điện áp tức thời và điện áp cực đại của tụ điện $\left(V\right)$

$C$: điện dung của tụ điện $\left(F\right)$

$C_{ss}=C_1+C_2+...+C_n$

Chú thích:

$C_{ss}$: điện dung toàn mạch của mạch song song $\left(F\right)$

$C_n$: điện dung của các tụ điện thành phần $\left(F\right)$

Chú ý:

$(C_{ss }> C_1, C_2...,C_n)$

$\frac{1}{C_{nt}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+...+\frac{1}{C_n}$

Chú thích:

$C_{nt}$: điện dung toàn mạch của mạch nối tiếp $\left(F\right)$

$C_n$: điện dung của các tụ điện thành phần $\left(F\right)$

Chú ý:

$(C_{nt }< C_1, C_2...,C_n)$

${\omega }_{điện từ}=\frac{1}{\sqrt{LC}}=2\pi f_{điện từ}=\frac{2\pi }{T}=\frac{I_0}{q_0}$

Mạch dao động gồm 2 bộ phận chính là cuộn cảm và tụ điện.Khi ta lắp mạch gồm 2 bộ phận trên thì ta được một mạch dao động .Có hai cách kích thích đó là tích điện cho tụ hoặc thay đổi từ trường của cuộn cảm.

Khi bỏ qua điện trở của dây dẫn ta thu được mạch dao động lí tưởng lúc này u,q,i trong mạch biến thiên điều hòa theo t và cùng tần số góc khi cộng hưởng điện

Chú thích:

${\omega }_{điện từ}$: tần số góc của dao động điện từ $(rad/s)$

$L$: độ tự cảm của cuộn cảm $\left(H\right)$

$C$: điện dung của tụ điện $\left(F\right)$

$T=2\pi \sqrt{LC}=\frac{1}{f_{điện từ}}$

Chú thích: 

$T$: chu kì của dao động $\left(s\right)$

$L$: độ tự cảm của cuộn cảm $\left(H\right)$

$C$: điện dung của tụ điện $\left(F\right)$

$f_{điện từ}=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}=\frac{1}{T}=\frac{{\omega }_{điện từ}}{2\pi }$

Chú thích: 

$f_{điện từ}:$ tần số góc của dao động $\left(Hz\right)$

$L$: độ tự cảm của cuộn cảm $\left(H\right)$

$C$: điện dung của tụ điện $\left(F\right)$

$u=\pm \frac{U_0}{I_0}\sqrt{{I_0}^2-i^2}=\pm \sqrt{\frac{L}{C}\left({I_0}^2-i^2\right)}$

Chú thích: 

$u$: điện áp tức thời $\left(V\right)$

$U_0$: điện áp cực đại $\left(V\right)$

$i$: cường độ dòng điện tức thời $\left(A\right)$

$I_0$: cường độ dòng điện cực đại $\left(A\right)$

${Q_0}^2=q^2+{\left(\frac{i}{\omega }\right)}^2$

$i=\pm \omega \sqrt{{Q_0}^2-q^2}=\pm \sqrt{\frac{C}{L}\left({U_0}^2-u^2\right)}$

Chú thích: 

$i$: cường độ dòng điện tức thời trong mạch $\left(A\right)$

$q$: điện tích tức thời của tụ điện $\left(C\right)$

$Q_0$: điện tích cực đại của tụ điện $\left(C\right)$

$\omega$: tần số góc của dao động $(rad/s)$

$B=B_0\cos (\omega t+\phi +\frac{\pi }{2})$

Khái niệm:

Cảm ứng từ trong lòng ống dây của mạch dao động LC dao động với cùng tần số góc ${\omega }_{điện từ}$ cũa mạch dao động, nhưng sớm pha $\frac{\pi }{2}$ so với điện tích của tụ điện.

Chú thích:

$B$: cảm ứng từ tức thời trong ống dây $\left(T\right)$

$B_0$: cảm ứng từ cực đại $\left(T\right)$

$U_0=\frac{Q_0}{C}=\frac{I_0}{\omega C}=\omega .L.I_0=I_0.\sqrt{\frac{L}{C}}=U\sqrt{2}$

Chú thích: 

$U_0$: điện áp cực đại giữa hai bản tụ điện $\left(V\right)$

$Q_0$: điện tích cực đại $\left(C\right)$

$C$: điện dung của tụ điện $\left(F\right)$

$I_0$: cường độ dòng điện cực đại $\left(A\right)$

$\omega$: tần số góc của dao động $(rad/s)$

$L$: độ tự cảm của ống dây $\left(H\right)$

$\omega =\frac{I_o}{Q_o}\Rightarrow I_o\mathit{=}\omega \mathit{.}{Q}_o=U_0\sqrt{\frac{C}{L}}=I\sqrt{2}$ 

Chú thích: 

$\omega$: tần số góc của dao động điện từ trong mạch $(rad/s)$

$Q_0$: điện tích cực đại của tụ điện $\left(C\right)$

$I_0$: cường độ dòng điện cực đại $\left(A\right)$

${\left(\frac{q}{Q_0}\right)}^2+{\left(\frac{i}{I_0}\right)}^2=1$

Phát biểu: Dòng điện và điện tích trong mạch là hai đại lượng vuông pha nhau, trong đó $i$ sớm pha $\frac{\pi }{2}$ so với điện tích $q$.

Chú thích: 

$q$: điện áp tức thời $\left(C\right)$

$Q_0$: điện áp cực đại $\left(C\right)$

$i$: cường độ dòng điện tức thời $\left(A\right)$

$I_0$: cường độ dòng điện cực đại $\left(A\right)$

${\left(\frac{u}{U_0}\right)}^2+{\left(\frac{i}{I_0}\right)}^2=1$

Phát biểu: Dòng điện và điện áp trong mạch là hai đại lượng vuông pha nhau, trong đó $i$ sớm pha $\frac{\pi }{2}$ so với $u$.

Chú thích: 

$u$: điện áp tức thời $\left(V\right)$

$U_0$: điện áp cực đại $\left(V\right)$

$i$: cường độ dòng điện tức thời $\left(A\right)$

$I_0$: cường độ dòng điện cực đại $\left(A\right)$

$$\begin{gathered} x\leftrightarrow q ; v\leftrightarrow i ;k\leftrightarrow \frac{1}{C};m\leftrightarrow L \\ {\mu }_{cản}\leftrightarrow R ; F\leftrightarrow u \end{gathered}$$

Sự tương quan giữa các đại lượng:

Sự tương quan giữa các công thức:

$t=\frac{∆\alpha }{\omega }=\left({\alpha }_2-{\alpha }_1\right)\sqrt{LC}$

Thời gian: $t=\frac{∆\alpha }{\omega }=\left({\alpha }_2-{\alpha }_1\right)\sqrt{LC}$

$u=\frac{q}{C}=U_0\cos (\omega t+\phi )$ với $\omega =\frac{1}{\sqrt{LC}}$

Phát biểu: Hiệu điện thế (điện áp) tức thời dao động cùng pha với điện tích tức thời và trễ pha $\frac{\pi }{2}$ so với cường độ dòng điện tức thời trong mạch.

Chú thích:

$u$: điện áp tức thời $\left(V\right)$

$q$: điện tích tức thời $\left(C\right)$

$C$: điện dung của tụ điện $\left(F\right)$

$U_0$: điện áp cực đại giữa hai đầu bản tụ $\left(V\right)$

Chú ý:

- Khi $t=0$ nếu $u$ đang tăng thì ${\phi }_u<0$; nếu $u$ đang giảm thì ${\phi }_u>0$. 

$q=Q_0\cos (\omega t+\phi )$ , $i=q\text{'}=I_0\cos (\omega t+\phi +\frac{\pi }{2})$

với $\omega =\frac{1}{\sqrt{LC}}$

Phát biểu: Điện tích $q$ của một bản tụ điện và cường độ dòng $i$ trong mạch dao động biến thiên điều hòa theo thời gian. Trong đó, $i$ sớm pha $\frac{\pi }{2}$ so với $q$.

Chú thích:

$q$: điện tích của một bản tụ điện $\left(C\right)$

$Q_0$: điện tích cực đại của bản tụ điện $\left(C\right)$

$\omega$: tần số góc của dao động $(rad/s)$

$\phi$: pha ban đầu của dao động $\left(rad\right)$

$i$: cường độ dòng điện trong mạch $\left(A\right)$

$I_0=\omega .Q_0$: cường độ dòng điện cực đại $\left(A\right)$

Chú ý:

- Khi $t=0$ nếu $q$ đang tăng (tụ điện đang tích điện) thì ${\phi }_q<0$; nếu $q$ đang giảm (tụ điện đang phóng điện) thì ${\phi }_q>0.$

- Khi $t=0$ nếu $i$ đang tăng thì ${\phi }_i<0$; nếu $i$ đang giảm thì ${\phi }_i>0$. 

Với ${\phi }_i={\phi }_q+\frac{\pi }{2}$

$W=W_C+W_L=W_{Cmax}=W_{Lmax}$

$\Rightarrow W=\frac{C{U_0}^2}{2}=\frac{L{I_0}^2}{2}=\frac{{Q_0}^2}{2C}$

Khái niệm: Là tổng năng lượng điện trường (trong tụ điện) và năng lượng từ trường (trong cuộn cảm) của mạch dao động.

Chú thích:

$W_L, W_{Lmax}$: năng lượng từ trường và năng lượng từ trường cực đại của tụ điện $\left(J\right)$

$W_C, W_{Cmax}$: năng lượng điện trường và năng lượng điện trường cực đại của tụ điện $\left(J\right)$

$W$: năng lượng điện từ của mạch dao động $\left(J\right)$

$$\begin{gathered} P=R{I}^2=\frac{RC}{L}{U}^2 \\ \Rightarrow W_{cc}=∆W=Pt \end{gathered}$$

Dao động điện từ tắt dần:

Trong các mạch dao động thực tế luôn có tiêu hao năng lượng, ví dụ do điện trở thuần $R$ của dây dẫn, vì vậy dao động sẽ dừng lại sau khi năng lượng bị tiêu hao hết. Quan sát dao động kí điện tử sẽ thấy biên độ giao động giảm dần đến $0$. 

$R$ càng lớn thì sự tắt dần càng nhanh, $R$ rất lớn thì không có dao động.

Dao động điện từ duy trì:

Hệ tự dao động: Muốn duy trì dao động, ta phải bổ sung đủ và đúng phần năng lượng bị tiêu hao trong mỗi chu kì. Ta có thể dùng transistor để điều khiển việc bù năng lượng từ pin cho khung dao động LC ăn nhịp với từng chu kì dao động của mạch.

Dao động điện từ cưỡng bức:

Dòng điện trong mạch LC buộc phải biến thiên theo tần số góc $\omega$ của nguồn điện ngoài chứ không thể dao động theo tần số góc riêng ${\omega }_0$ được nữa.

Khi thay đổi $\omega$ của nguồn điện ngoài thì biên độ của dao động điện trong khung thay đổi theo. Khi $\omega ={\omega }_0$ thì biên độ dao động điện trong khung đạt giá trị cực đại (cộng hưởng).

$$\begin{gathered} {f_{nt}}^2={f_1}^2+{f_2}^2 \\ \frac{1}{{T_{nt}}^2}=\frac{1}{{T_1}^2}+\frac{1}{{T_2}^2} \\ \frac{1}{{{\lambda }_{nt}}^2}=\frac{1}{{{\lambda }_1}^2}+\frac{1}{{{\lambda }_2}^2} \end{gathered}$$

Xét mạch dao động điện từ gồm $L$ mắc nối tiếp với $C_1, C_2$.

Chú thích:

$f_{nt}, T_{nt}, {\lambda }_{nt}$ lần lượt là tần số, chu kì và bước sóng của toàn mạch.

$f_1, T_1, {\lambda }_1$ lần lượt là tần số, chu kì và bước sóng khi mắc nối tiếp cuộn cảm thuần $L$ với tụ điện $C_1$.

$f_2, T_2, {\lambda }_2$ lần lượt là tần số, chu kì và bước sóng khi mắc nối tiếp cuộn cảm thuần $L$ với tụ điện $C_2$.

$$\begin{gathered} {T_{ss}}^2={T_1}^2+{T_2}^2 \\ \frac{1}{{f_{ss}}^2}=\frac{1}{{f_1}^2}+\frac{1}{{f_2}^2} \\ {{\lambda }_{ss}}^2={{\lambda }_1}^2+{{\lambda }_2}^2 \end{gathered}$$

Xét mạch dao động điện từ gồm $L$ mắc song song với $C_{1 }, C_2$.

Chú thích:

$f_{ss}, T_{ss}, {\lambda }_{ss}$ lần lượt là tần số, chu kì và bước sóng của toàn mạch.

$f_1, T_1, {\lambda }_1$ lần lượt là tần số, chu kì và bước sóng khi mắc song song cuộn cảm thuần $L$ với tụ điện $C_1$.

$f_2, T_2, {\lambda }_2$ lần lượt là tần số, chu kì và bước sóng khi mắc song song cuộn cảm thuần $L$ với tụ điện $C_2$.

$L_{nt}=L_1+L_2+...+L_n$

Với $L_{nt}$ độ tự cảm khi các cuộn dây mắc nối tiếp.

$L_1,L_2$ độ tự cảm của từng cuộn dây

$\frac{1}{L_{ss}}=\frac{1}{L_1}+\frac{1}{L_2}+...+\frac{1}{L_n}$

Với $L_{ss}$ độ tự cảm khi các cuộn dây mắc song song.

$L_1,L_2$ độ tự cảm của từng cuộn dây

$$\begin{gathered} C=\frac{1}{L}.\frac{1}{{\omega }^2}=\frac{1}{4{\pi }^{2}L}.\frac{1}{f^2}=\frac{1}{4{\pi }^{2}L}.T^2 \\ L=\frac{1}{C}.\frac{1}{{\omega }^2}=\frac{1}{4{\pi }^{2}C}.\frac{1}{f^2}=\frac{1}{4{\pi }^{2}C}.T^2 \end{gathered}$$

T chu kì mạch dao động

C điện dung tụ 

L độ tự cảm

$\omega$ tần số góc mạch dao động