Thư Viện Công Thức Vật Lý

Phương trình gia tốc của con lắc đơn

 $a=-{\omega }^2{s}_0\cos \left(\omega t+\phi \right)$

Với   $s_0:$Biên độ dài$\left(m\right)$

      $\alpha :$ Li độ góc $\left(rad\right)$

      ${\alpha }_0:$Biên độ góc $\left(rad\right)$

     $\omega :$ Tần số góc con lắc đơn $\left(rad/s\right)$

     $a:$Gia tốc của vật $\left(m/s^2\right)$

Chú ý : 

+ Gia tốc chậm pha $\pi$ li độ dài , li độ góc ; chậm pha $\frac{\pi }{2}$ với vận tốc , cực đại tại VTCB và bằng 0 tại Biên. 

+ Với góc $\alpha$ nhỏ ta có hệ thức : $s=l\alpha$ ,$a=-{\omega }^{2}s=-{\omega }^{2}l\alpha$, $a_{max}={\omega }^2{s}_0={\omega }^{2}l{\alpha }_0$

Phương trình li độ dài , li độ góc của con lắc đơn

$s=s_0\cos \left(\omega t+\phi \right) và \alpha ={\alpha }_0\cos \left(\omega t+\phi \right)$

Với $s:$Li độ dài $\left(m\right)$

      $s_0:$Biên độ dài$\left(m\right)$

      $\alpha :$ Li độ góc $\left(rad\right)$

      ${\alpha }_0:$Biên độ góc $\left(rad\right)$

     $\omega :$ Tần số góc con lắc đơn $\left(rad/s\right)$

Chú ý : 

+ Li độ dài , li độ góc cùng pha  cực đại tại biên và bằng 0 tại VTCB.

+ Với góc $\alpha$ nhỏ ta có hệ thức : $s=l\alpha$

Công thức :

$\frac{W_{đ}}{W_t}=n=\frac{{s_0}^2-s^2}{s^2}=\frac{{{\alpha }_0}^2-{\alpha }^2}{{\alpha }^2}=\frac{v^2}{{v_{max}}^2-v^2}$

Lực hồi phục của con lắc đơn là hợp lực của lực căng dây và trọng lực giúp con lắc đơn dao động điều hòa.

Công thức:

$F=-mg\sin \left(\alpha \right)\approx -mg\alpha =-mg\frac{s}{l}=-m{\omega }^{2}s$

Tại biên lực phục hồi cực đại $F_{max}=m{\omega }^2{s}_0$

Tại VTCB lực phục hồi bằng 0

Chú thích:

$F$ : Lực phục hồi của con lắc đơn $\left(N\right)$

$\alpha :$Li độ góc $\left(rad\right)$

$s:$Li độ dài $\left(m\right)$

$\omega :$Tốc độ góc của dao động con lắc đơn

Khi con lắc ở vị trí li độ góc $\alpha$:

Công thức

$T=mg\left(3\cos \left(\alpha \right)-2\cos \left({\alpha }_0\right)\right)$

Khi góc nhỏ:

$T=mg\left(1+{{\alpha }^2}_0-\frac{3}{2}{\alpha }^2\right)$

Khi vật ở biên: $T_{min}=mg\cos \left({\alpha }_0\right)$hay $T_{min}=mg\left(1-\frac{{{\alpha }^2}_0}{2}\right)$

Khi ở VTCB: $T_{max}=mg\left(3-2\cos \left({\alpha }_0\right)\right)$ hay $T_{max}=mg\left(1+{{\alpha }^2}_0\right)$

Chú thích :

$T$ : Lực căng dây $\left(N\right).$

m: Khối lượng con lắc $\left(kg\right)$

g: Gia tốc trọng trường $\left(m/s^2\right)$

$\alpha :$Li độ góc $\left(rad\right)$

${\alpha }_0$ : Biên độ góc $\left(rad\right)$

Định nghĩa : năng lượng mà con lắc có được do được đặt trong trọng trường.Thế năng biến thiên điều hòa theo t với chu kì $\frac{T}{2}$

Công thức : 

$$\begin{gathered} W_t=\frac{1}{2}mgh=\frac{1}{2}m{\omega }^2\left({s_0}^2\right){\cos }^2\left(\omega t+\phi \right) \\ =\frac{1}{2}m{\omega }^2\left(s^2\right)=mgl\left(1-\cos \left(\alpha \right)\right)\approx \frac{1}{2}mgl{\alpha }^2 \end{gathered}$$

Chú ý : Thế năng cực đại ở biên, cực tiểu ở VTCB.

Chú thích:

$W_t:$ Thế năng của con lắc đơn $\left(J\right)$.

$m:$ Khối lượng của vật $\left(kg\right)$.

$v:$ Vận tốc của vật $\left(m/s\right)$.

$s_0 :$ Biên độ dài của dao động con lắc $\left(m\right)$

$k:$Độ cứng của lò xo $\left(N/m\right)$.

$s:$Li độ dài của dao động con lắc $\left(m\right) ; \left(cm\right)$

$\phi :$Pha ban đầu $\left(rad\right)$

Định nghĩa : năng lượng mà con lắc có được dưới dạng chuyển động.Động năng biến thiên điều hòa theo t với chu kì $\frac{T}{2}$

Công thức : 

$$\begin{gathered} W_{đ}=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}m\omega \left({s_0}^2\right){\sin }^2\left(\omega t+\phi \right) \\ =\frac{1}{2}m{\omega }^2\left({s_0}^2-s^2\right)=mgl\left(\cos \left(\alpha \right)-\cos \left({\alpha }_0\right)\right) \end{gathered}$$

Chú ý : Động năng cực đại ở VTCB, cực tiểu ở biên.

Chú thích:

$W_{đ}:$ Động năng của con lắc đơn $\left(J\right)$.

$m:$ Khối lượng của vật $\left(kg\right)$.

$v:$ Vận tốc của vật $\left(m/s\right)$.

$s_0 :$ Biên độ dài của dao động con lắc $\left(m\right)$

$k:$Độ cứng của lò xo $\left(N/m\right)$.

$s:$Li độ dài của dao động con lắc $\left(m\right) ; \left(cm\right)$

$\phi :$Pha ban đầu $\left(rad\right)$

Công thức:

            $s=l\alpha$

Chú thích :

$s:$Li độ dài của con lắc đơn $\left(m\right)$

$l :$ Chiều dài dây treo $\left(m\right)$

$\alpha :$Li độ góc của con lắc đơn $\left(rad\right)$

Công thức:

$v=\sqrt{2gl\left(\cos \left(\alpha \right)-\cos \left({\alpha }_0\right)\right)}$ hay $v=\omega \sqrt{{s_0}^2-s^2}$

+ $v_{max}=\sqrt{2gl\left(1-\cos \left({\alpha }_0\right)\right)}$ tại VTCB

+ $v_{min}=0$ tại 2 biên

Với góc nhỏ : $v=\sqrt{gl\left({{\alpha }^2}_0-{\alpha }^2\right)}$

Hoặc $v=-s_0\omega \cos \left(\omega t+\phi \right)$

Chú thích:

$v:$ Vận tốc của con lắc $\left(m/s\right)$.

$g:$Gia tốc trọng trường $\left(m/s^2\right)$.

$l:$ Chiều dài dây $\left(m\right)$.

$\alpha :$Li độ góc $\left(rad\right)$

${\alpha }_0 :$Biên độ góc $\left(rad\right)$

Chứng minh công thức:

Theo định luật bảo toàn năng lượng ta có:

$W_{đ}=W-W_t$

Lại có $\left\{\begin{array}{l}W=W_{tmax}=m.g.h_{max}=mgl(1-\cos {\alpha }_o) \left(2\right)\\ W_t=m.g.h=mgl.(1-\cos \alpha ) \left(3\right)\end{array}\right.$

Xem hình vẽ dưới đây để chứng minh công thức số (2) và (3)

Bằng mối quan hệ trong tam giác vuông ta có $\left\{\begin{array}{l}{h}_{max}=l(1-\cos {\alpha }_o)\\ h=l(1-\cos \alpha )\end{array}\right.$

Từ đây suy ra được:  $W_d=W-W_t$

$$\begin{gathered} \iff \frac{1}{2}m{v}^2=mgl(\cos \alpha -\cos {\alpha }_o) \\ \iff v^2=2gl(\cos \alpha -\cos {\alpha }_o) \\ \iff v=\sqrt{2gl(\cos \alpha -\cos {\alpha }_o)} \end{gathered}$$

Phát biểu: Các dụng cụ quang đều có tác dụng tạo ảnh với góc trông lớn hơn góc trông vật nhiều lần. Đại lượng đặc trưng cho tác dụng này là số bội giác.

Chú thích:

$\alpha$: góc trông ảnh qua kính

${\alpha }_0$: góc trông vật có giá trị lớn nhất được xác định trong từng trường hợp

Lưu ý:

Người ta thường lấy khoảng cực cận là $O{C}_C=25cm.$ Khi sản xuất kính lúp, người ta ghi giá trị của $G_{\infty }$ ứng với khoảng cực cận này trên kính.

- Ví dụ: Các kính có kí hiệu $3x$, $5x, 8x$,... sẽ có tiêu cự tương ứng là $\frac{25}{3}cm, \frac{25}{5}cm, \frac{25}{8}cm,...$ Chúng có khả năng làm cho góc trông ảnh qua kính lớn hơn ba lần, năm lần, tám lần,... góc trông trực tiếp vật.