Lực hấp dẫn - Bài toán xác định vị trí để vật cân bằng khi chịu tác dụng của hai lực hấp dẫn.

Mời các bạn xem video bài giảng.

I. Xác định vị trí để vật cân bằng

a. Yêu cầu bài toán

Cho hai vật có khối lượng lần lượt là $m_{1 }và m_2$ đặt cách nhau một khoảng là AB. Hãy xác định vị trí của điểm M, tại đó đặt vật có khối lượng $m_3$ bất kỳ sao cho hệ cân bằng (vật $m_3$ đứng yên). 

b. Hướng dẫn giải

Để vật $m_3$ đứng yên thì theo điều kiện cân bằng lực ta có: $\overrightarrow{F_{13}} + \overrightarrow{F_{23}} = 0\Rightarrow \overrightarrow{F_{13}} =- \overrightarrow{F_{23}}$

Suy ra: $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{F_{13}} ⇵ \overrightarrow{F_{23}} \\ F_{13} = F_{23}\end{array}\right.$

Để $\overrightarrow{F_{13}} ⇵ \overrightarrow{F_{23}}$ thì vật $m_3$ phải nằm trên đường nối giữa $m_{1 }và m_2$ và nằm phía trong.

Ta có: $F_{13} = F_{23} \Rightarrow G\frac{m_1.m_3}{{r^2}_{13}} = G\frac{m_2.m_3}{{r^2}_{23}}\Rightarrow \frac{{r^2}_{13}}{{r^2}_{23}}=\frac{m_1}{m_2}\Rightarrow \frac{r_{13}}{r_{23}}=\sqrt{\frac{m_1}{m_2}} \left(1\right)$

Ngoài ra: $r_{13} + r_{23} = AB$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}\frac{r_{13}}{r_{23}}=\sqrt{\frac{m_1}{m_2}}\\ r_{13} + r_{23} = AB\end{array}\right.$

Ta tính được $r_{13} và r_{23}$ và xác định được vị trí của $m_3$.

II. Bài tập ví dụ

a. Đề bài

Một con tàu vũ trụ bay về hướng Mặt Trăng, biết khoảng cách giữa tâm Trái Đất và Mặt Trăng bằng 60 lần bán kính Trái Đất và khối lượng Mặt Trăng nhỏ hơn khối lượng của trái đất 81 lần. Xác định vị trí con tàu sao cho lực hấp dẫn của Trái Đất và Mặt Trăng tác dụng lên con tàu cân bằng.

b. Hướng dẫn giải

Tóm tắt: 

$$\begin{gathered} r = 60R \\ \frac{M_{Trái Đất}}{M_{Mặt trăng}} = 81 \\ {r}_1 = ? và r_2 = ? \end{gathered}$$

Bài làm:

Để tàu cân bằng thì theo điều kiện cân bằng lực ta có: $\overrightarrow{F_{TĐ}} + \overrightarrow{F_{MT}} = 0\Rightarrow \overrightarrow{F_{TĐ}} =- \overrightarrow{F_{MT}}$

Suy ra: $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{F_{TĐ}} ⇵ \overrightarrow{F_{MT}} \\ F_{TĐ} = F_{MT}\end{array}\right.$

Để $\overrightarrow{F_{TĐ}} ⇵ \overrightarrow{F_{MT}}$ thì tàu vũ trụ phải nằm trên đường nối giữa Trái Đất và Mặt Trăng và nằm phía trong.

Ta có:

 $$\begin{gathered} F_{TĐ} = F_{MT} \\ \Rightarrow G\frac{M_{TĐ}.m_{tàu}}{{r^2}_1} = G\frac{M_{MT}.m_{tàu}}{{r^2}_2} \\ \Rightarrow \frac{{r^2}_1}{{r^2}_2}=\frac{M_{TĐ}}{M_{MT}} \\ \Rightarrow \frac{{r^2}_1}{{r^2}_2}=81 \\ \Rightarrow r_{1 }= 9r_2 \end{gathered}$$

Ngoài ra: $r_1 + r_2 = r \Rightarrow r_1 + r_2 = 60R$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

 $\left\{\begin{array}{l}{r}_{1 }= 9r_2\\ r_1 + r_2 = 60R\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{r}_{1 }= 9r_2\\ 9r_2 + r_2 = 60R\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{r}_{1 }= 54R\\ r_2 = 6R\end{array}\right.$

(với R là bán kính Trái Đất)

Vậy tàu vũ trụ cách Trái Đất bằng 54 lần bán kính Trái Đất.